| Titre : | Courbes magnétiques sur les variétés de Walker |
| Auteurs : | Semmache Rabab, Auteur ; H.M.Dida, Directeur de thèse |
| Type de document : | texte manuscrit |
| Editeur : | Université de Saida - Dr Moulay Tahar. Faculté des Sciences. Département de Mathématiques., 2018/2019 |
| Format : | 63ص |
| Accompagnement : | CD |
| Langues: | Français |
| Index. décimale : | BUC-M 008344 |
| Catégories : | |
| Résumé : |
En mathÈmatiques pures et appliquÈes, on rencontre souvent des espaces qui ressemblent localement
‡ Rn, dans le sens o˘ ils peuvent Ítre paramÈtrÈs localement par n coordonnÈes : par exemple, la sphËre ‡ n dimensions Sn Rn+1. Le concept díespaces qui ressemblent localement ‡ Rn est formalisÈ par la dÈÖnition de variÈtÈs topologiques : des espaces topologiques localement homÈomorphes ‡ Rn. Les variÈtÈs di§Èrentiables sont dÈÖnies en tant que variÈtÈs topologiques dont les changements de coordonnÈes sont lisses. Les propriÈtÈs mÈtriques de Rn (distances et angles) sont dÈterminÈes par les coordonnÈes car- tÈsiennes canoniques. Dans une variÈtÈ gÈnÈralement di§Èrentiable, cependant, il níy a pas de telles coordonnÈes pour dÈÖnir les distances et les angles, il faut ajouter plus de structure en choisissant un 2-champ de tenseur spÈcial, appelÈ mÈtrique Riemannienne. Cette idÈe a ÈtÈ introduite par Riemann dans son exposÈ díhabilitation de 1854 intitulÈ ´ On the hypotheses which underlie geometryª , ‡ la suite de la dÈcouverte (vers 1830) de la gÈomÈtrie non Euclidienne par Gauss, Bolyai et Lobachevsky. LíÈtude des mÈtriques indÈÖnies a donnÈe naissance ‡ la gÈomÈtrie pseudo-Riemannienne. Une partie de líunivers peut Ítre reprÈsentÈe par les modËles Ètablis via la gÈomÈtrie Lorentzienne qui reprÈsente un cas particulier de la gÈomÈtrie pseudo-Riemannienne. Plus explicitement, les variÈtÈs Lorentziennes sont des variÈtÈs lisses qui sont fournies avec la mÈtrique Lorentzienne. Ces variÈtÈs sont exploitÈes comme modËles cosmologiques pour expliquer les phÈnomËnes se produisant sur líÈchelle des planËtes tels que le Big Bang et líexpansion de líunivers. NÈanmoins, il est possible que plusieurs mÈtriques engendrent la mÍme connexion. Cette non-unicitÈ est ÈtudiÈe pour les mÈtriques de signature arbitraire et pour les mÈtriques de Lorentz. Il est connu que líexistence díun champ de lignes parallËles sur une variÈtÈ Riemannienne donne lieu ‡ une dÈcomposition locale de la variÈtÈ en tant que produit direct. Cette propriÈtÈ síÈtend aux variÈtÈs semi-Riemanniennes chaque fois que le champ de ligne est non dÈgÈnÈrÈ. Cependant, les consÈquences gÈomÈtriques de líexistence díun champ de ligne dÈgÈnÈrÈ parallËle ne sont pas encore bien comprises. Une de ces variÈtÈs intÈressantes sont les variÈtÈs pseudo- Riemanniennes qui admettent un champ de ligne dÈgÈnÈrÈ parallËle. Walker a ÈtudiÈ ces variÈtÈs en 1950. MotivÈ par son travail, une variÈtÈ semi-riemannienne qui admet un champ de ligne dÈgÈnÈrÈ parallËle síappelle une variÈtÈ de Walker (voir [17]). La premiËre section du chapitre 1 sera rÈservÈ aux notions gÈnÈrales et prÈliminaires de variÈtÈs di§Èrentielles, conÁues de maniËre ‡ rendre ce travail aussi autonome que possible. Il ne contiendra aucun rÈsultat nouveau, mais prÈsentera un travail de synthËse pour le chapitre 2. La seconde section initie líÈtude de la gÈomÈtrie Riemannienne. On prÈsente les mÈtriques Rieman- nienne en tant que champs de tenseurs dÈterminant un produit interne dans chaque espace tangent. 3 Cela conduit naturellement ‡ un certain nombre de concepts, tels que la longueur díun vecteur (ou une courbe), et la forme volume Riemannienne. La section 3 traite la di§ÈrenciabilitÈ des champs de vec- teurs. Ce concept nÈcessite Ègalement líintroduction díune structure supplÈmentaire, appelÈe connexion a¢ ne. elle fournit une notion de parallÈlisme des vecteurs le long des courbes, et par consÈquent des gÈodÈsiques, cíest-‡-dire des courbes dont le vecteur tangent est parallËle, une notion que líon verra la derniËre section. Les variÈtÈs Riemanniennes sont ÈquipÈes díune connexion a¢ ne spÈciale, appelÈe connexion de Levi-Civita, dont les propriÈtÈs gÈodÈsiques minimisent la distance. Au second chapitre de ce mÈmoire nous introduisons quelques notions gÈnÈrales de gÈomÈtrie pseudo-Riemannienne. Nous y dÈÖnissons en particuleir la gÈomÈtrie Lorentzienne. Nous dÈÖnissons líespace mÈtrique Lorentzien E3 1 , le troisiËme chapitre de ce mÈmoire sera consacrer ‡ líintroduisons des variÈtÈs (M 3; gf ) de Walker, cíest-‡-dire une variÈtÈ lorentzienne tridimensionnelle admettant un champ de lignes dÈgÈnÈrÈs parallËles. Les variÈtÈs de Walker sont dÈcrites en termes de coordonnÈes locales x; y; z et une fonction f = f (x; y; z). Si la variÈtÈ est stricte, alors elle peut Ítre caractÈrisÈe par f = f (y; z). Nous calculons, ainsi, les connexions díune variÈtÈ tridimensionnelle de Walker arbitraire. EnÖn, dans la derniËre partie, nous nous intÈressons aux gÈodÈsiques díune variÈtÈ de Walker (M 3; gf ), en particulier celles ‡ composante constante ou linÈaire. Dans le quatriËme et dernier chapitre de ce mÈmoire nous dÈveloppons avec beaucoup de dÈtails líobjectif essentiel qui consiste ‡ Ètudier les courbes magnÈtiques de Killing sur les variÈtÈs de Walker, aÖn de classer les courbes de Killing correspondantes. ¿ cet e§et, nous nous concentrons sur les variÈtÈs de Walker de dimension trois, dÈsignÈes par M 3 f , Dans un premier temps, nous classiferons les champs de vecteurs de Killing sur ces espaces. Pour líexistence díun tel champ de vecteurs, @x est de Killing sur M 3 f , si et seulement si cette variÈtÈ de Walker est stricte, cíest líinteret de la permiËre section. Les gÈodÈsiques peuvent Ítre considÈrÈs comme un type particulier de trajectoires magnÈtiques, ‡ obtenir dans le cas o˘ le champ magnÈtique síannulle, notamment lorsque la particule chargÈe se dÈplace seulement sous líe§et de la gravitÈ. Sur les variÈtÈs pseudo-Riemanniennes, les gÈodÈsiques de type lumiËre sont díun intÈrÍt particulier. Si une variÈtÈ de Walker M 3 f admet un champ de vecteur unitaire de type espace, normal ‡ une courbe de type lumiËre (cíest-‡-dire est une courbe intÈgrale de ??), aprËs un reparamÈtrage, est une gÈodÈsique. De plus, lorsque M 3 f est dotÈ díun champ vectoriel de Killing V , nous obtenons les courbes magnÈtiques correspondant ‡ V en considÈrant les courbes intÈgrales de type espaces ou temps de V ?. EnÖn, nous caractÈrisons les trajectoires magnÈtiques normales associÈes au champ de vecteurs Killing @x sur M 3 f , et obtenons quelques exemples de courbes magnÈtiques de Killing sur de tels variÈtÈs. |
| Note de contenu : |
Table des matiËres
1 Introduction ‡ la gÈomÈtrie Riemannienne 5 1.1 VariÈtÈs di§Èrentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 DÈÖnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Applications di§Èrentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.3 Espace tangent en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.4 FibrÈ tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.5 Champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.1.6 FibrÈ cotangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.1.7 Crochet et AlgÈbre de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.1.8 DerivÈe de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2 MÈtrique Riemannienne sur une variÈtÈ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.1 Connexion linÈaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2.2 Tenseur de torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2.3 Connexion de Levi-Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.2.4 Tenseur de courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.2.5 GÈodÈsiques et Transport parallÈle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3 Quelques opÈrateurs di§Èrentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.3.1 OpÈrateur star de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.3.2 Divergence díun champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.3.3 Forme Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2 VariÈtÈs pseudo-Riemanniennes 29 2.1 MÈtriques semi-Riemanniennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2 VariÈtÈs Lorentziennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2.1 Espace de Minkowski E3 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1 3 VariÈtÈ de Walker de dimension 3 36 3.1 Produit Vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2 Connexion de Levi-Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.3 Courbes gÈodÈsiques sur les 3-variÈtÈs de Walker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4 Courbes magnÈtiques de Killing sur les variÈtÈs de Walker 43 4.1 Champ de Killing sur une variÈtÈ (Pseudo)-Riemannienne . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.2 Courbes magnÈtiques sur une variÈtÈ (Pseudo)-Riemannienne . . . . . . . . . . . . . . 47 4.2.1 Champs magnÈtiques sur (M 3; g) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.2.2 Champs magnÈtiques de Killing sur (M 3; g) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.2.3 Courbe magnÈtique de Killing sur (E3; h; i) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.3 Champ de Killing sur les 3-variÈtÈs de Walker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.3.1 Courbes magnÈtiques de Killing sur les 3-variÈtÈs de Walker . . . . . . . . . . . 54 2 |
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| aucun exemplaire |
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