| Titre : | Équations différentielles à retard et semi-groupes associés |
| Auteurs : | Souiah Salah Eddine, Auteur ; Bennihi Omar, Directeur de thèse |
| Type de document : | texte manuscrit |
| Editeur : | Université de Saida - Dr Moulay Tahar. Faculté des Sciences. Département de Mathématiques., 2018/2019 |
| Format : | 60 ص |
| Accompagnement : | CD |
| Note générale : |
Les équations différentielles à retard surviennent dans certains modèles dont l’état à un
instant donné, est une fonction qui dépend de son passé. On peut rencontrer ces équations dans plusieurs domaines d’applications, notamment en économie, physique, médecine, biolo- gie, écologie . . . etc. En effet, dans certains phénomènes, on s’est aperçu que la connaissance de la solution en un point ne suffit pas pour décrire l’évolution sur un intervalle de temps donné. La signification du retard dans un tel ou tel modèle peut être différente : période d’incuba- tion d’une maladie contagieuse, temps d’accumulation, temps nécessaire pour la maturation des cellules ou la transformation d’un type de cellules en un autre. Rappelons que les équations à retard ont été introduites pour modéliser des phénomènes dans lesquels il y a un décalage temporel entre l’action sur le système et la réponse du système à cette action par exemple, dans les processus de naissance des populations biolo- giques (cellules, bactéries,...), ou qui nécessitent qu’un certain seuil soit atteint avant que le système ne soit pas activé. Beaucoup de phénomènes rencontrés en physique, biologie , chimie , étude des réseaux de neurones, circulation routière,...etc. ont trouvé dans la théorie des équations à retard un bon moyen de modélisation, (un moyen plus réaliste que dans le cas des équations différentielles ordinaires). On appelle équation à retard toute équation dans laquelle la valeur de la dérivée à un instant de la solution dépend aussi des valeurs prises avant cet instant. Une classe générale d’équations différentielles à retard a été initialement introduite par V. Volterra (1928) [22], il a étudié le modèle prédateur-proie. Dans la deuxième moitié du dernier siècle, la théorie des équations à retard a connu un grand développement, notamment on trouve Bellman et Cooke (1963) [20], El’sgol’ts et 1 Introduction générale Norkin (1973) [13], Lunel et Walther (1995) [18].... En pratique, il se peut que certains mo- dèles dépendent d’un paramètre : température, tension, résistance, . . . etc. Dans ce cas, le modèle est décrit par une équation différentielle qui dépend de ce paramètre. Dans le premier chapitre on s’intéresse à donner quelques notions générales sur les es- paces de Sobolev avec quelques propriétés associées et quelques inégalité utiles utilisés dans la suite de ce mémoire, nous avons donné aussi quelques théorèmes principaux comme le théorème de Lax-Milgram, théorème de Hille-Yoshida et théorème de trace. Le deuxième chapitre est consacré à donner la notion générale d’une équation différentielle à retard et comment peut être transformer à une équation différentielle sans retard pour pouvoir appliquer le théorème de Hille-Yoshida, avec quelques lemmes et théorèmes princi- paux permettant de définir les conditions nécessaires pour trouver un semi-groupe associé a une équation à retard, Pour illustrer cette idée, nous avons donné quelques problèmes étudiés dans les chapitres suivants. Dans le troisième chapitre nous avons vu comment peut étudier l’existence et l’unicité de la solution en appliquant l’idée décrit précédemment sur deux exemples en détaille, le premier exemple est un problème des ondes avec un terme retard et comme deuxième exemple nous avons donné un problème des ondes avec terme retard sur les bords du domaine, l’existence et l’unicité de la solution pour chaque problème équivalent est démontré en utilisant les théorèmes de Hille-Yosida et de Lax-Milgram. Le dernier chapitre consiste à donné une application à un autre type de problème, présenté par un problème de type de Timoshenko, ce type de problèmes a été introduit en 1921 par Stephen Timoshenko en absence de terme dissipatif qui décrit la vibration transversale du faisceau. |
| Langues: | Français |
| Index. décimale : | BUC-M 008345 |
| Catégories : | |
| Note de contenu : |
Table des matières
Introduction générale 1 1 Préliminaire 3 1.1 Espace de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Les espaces de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.1 Espace de Sobolev W 1,p(I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.2 Espaces de Sobolev W m,p(I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.3 Espace W 1,p 0 (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Théorème de trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Quelques inégalités utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5 Rappel sur les opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5.1 L’ensemble résolvant et la résolvante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5.2 Opérateur fermé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5.3 Opérateurs m-dissipatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.6 Théorème de Lax-Milgram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.7 Semi-groupe fortement continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.8 Théorème de Hille-Yosida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.9 Résolution d’un problème d’évolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.9.1 Problème de Cauchy abstrait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2 Quelques résultats sur les équations différentielles à retard 14 2.1 Notion d’une équation à retard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Semi-groupe associé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.1 Transformation au problème de Cauchy absrait . . . . . . . . . . . . 18 iii Table des matières 3 Applications aux quelques problèmes des ondes avec terme retard 27 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2 Équation des ondes localement amorti avec terme retard . . . . . . . . . . . 28 3.2.1 Écriture du problème équivalent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.2.2 Étude de l’existence et l’unicité de la solution du problème équivalent 30 3.3 Équation des ondes avec terme retard sur les bords . . . . . . . . . . . . . . 34 3.3.1 Écriture du problème équivalent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.3.2 Étude de l’existence et l’unicité de la solution du problème équivalent 37 4 Application à un système de type Timoshenko avec terme retard 42 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.2 Résultat d’existence et d’unicité pour un système de type Timoshenko de thermoélasticité de type III avec retard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.2.1 Écriture du problème équivalent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.2.2 Étude de l’existence et l’unicité de la solution du problème équivalent 47 Bibliographie 55 |
Exemplaires
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| aucun exemplaire |
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