| Titre : | Étude et Applications du Modèle de « Black-Scholes » |
| Auteurs : | Derkaoui Nasreddine Mohamed, Auteur ; Ait ouali Nadia, Directeur de thèse |
| Type de document : | texte manuscrit |
| Editeur : | Université de Saida - Dr Moulay Tahar. Faculté des Sciences. Département de Mathématiques., 2018/2019 |
| Format : | 43ص |
| Accompagnement : | CD |
| Note générale : |
Les spécialistes de la finance ont en général recours, depuis quelques années, à des outils
mathématiques de plus en plus sophistiqués (martingales, intégrales stochastiques, ...) pour décrire certains phénomènes et mettre au point des techniques de calcul. L’intervention du calcul des probabilités en modélisation financière n’est pas récente. En effet, c’est Bachelier qui en tentant de bâtir une "théorie de la spéculation" a découverte , au début du XXime siècle, l’objet mathématique appelé "mouvement Brownien". À partir de 1973 cette théorie a pris une nouvelle dimension avec les travaux de Black-Scholes sur l’évaluation et la couverture des options. Depuis ces travaux, le monde de la finance a connu de grands bouleversements, les marchés sont devenus plus volatils créant ainsi une demande croissante des produits dérivés (options, contrats à terme, dérivés de crédit) pour contrôler, miser, spéculer et gérer les risques. Les pro- grès technologiques ont permis aux institutions financières de créer et de mettre sur le marché des produits et des services qui permettront de se prémunir contre les risques et de générer des revenus. La conception, l’analyse et le développement de ces produits et services nécessitent une connaissance approfondie des théories financières avancées, une maîtrise des mathématiques et des calculs numériques sophistiqués. Les équations différentielles servent à décrire des phénomènes physiques très variés. Cepen- dant, dans de nombreuses situations les phénomènes observés ne suivent que grossièrement les trajectoires des équations qui semblent devoir leur correspondre. Les causes possibles d’un tel comportement peuvent être variées : erreur de modélisation, fluctuation au cours du temps des paramètres de l’équation, .... Dans ces situations, les approches probabilistes trouvent naturel- lement leur place et il peut alors être intéressant d’incorporer des termes aléatoires dans les équations différentielles afin de prendre en compte les incertitudes précédentes. Cependant, l’in- troduction de ces termes aléatoires conduit à une intégration des équations qui ne correspond pas, en général, à une adaptation immédiate de la théorie classique des équations différentielles. 5 Introduction 6 L’objectif de ce travail est d’introduire des méthodes numériques qui permet d’aborder les équa- tions différentielles stochastiques, on présentera les schémas numériques d’Euler, Milstein et de Runge-Kutta afin de simuler des approximations de la solution de telles équations et son ap- plication au modèle de Black-Scholes. Le mémoire est structuré comme suit : Premièrement, nous présentons une synthèse détaillée des processus stochastique (processus, filtration, martingale, mouvement Brownien, variation totale et quadratique, intégrale stochas- tique et calcul d’Itô). Ensuite, nous présentons les équations différentielles stochastiques : définitions, solution, chan- gement de probabilité et l’étude de quelques schémas numériques. Finalement, nous étudions en détail un modèle d’application en finance, à savoir le modèle de Black-Scholes pour lequel nous présentons les hypothèses de marché et certaines notions en finance. |
| Langues: | Français |
| Index. décimale : | BUC-M 00834 |
| Catégories : |
Master Mathématiques Spécialité: Analyse stochastique, statistique des processus et applications |
| Résumé : |
Dans ce modeste travail, nous avons étudié quelques schémas concernant la résolution nu-
mérique des équations différentielles stochastiques. Il pousse cette étude en examinant une application en finance du très important modèle de Black- Scholes. Pour cela, on a commencé par un rappel des outils mathématiques nécessaires, à savoir le mouvement Brownien, les mar- tingale, variation totale et quadratique, l’intégrale stochastique et calcul d’Itô. Ensuite, Nous avons défini la notion de solution d’une EDS ainsi le théorème d’existence et d’unicité, puisque la solution d’une EDS n’est pas en général une martingale, nous avons présenté le Théorème de Girsanov qui permet de définir une nouvelle mesure de probabilité pour laquelle ce processus solution serait une martingale. Enfin, on a vu comment réaliser une simulation des exemples d’application par un programme informatique |
| Note de contenu : |
Table des matières
Introduction 5 1 Généralités sur le processus stochastique et calcul d’Itô 7 1.1 Processus stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.1 Filtration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Mouvement Brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1 Historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.1 Espérance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.2 Martingales à temps continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4 Variation totale et quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.1 Variation bornée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.2 Cas du mouvement Brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5 Intégrale stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5.1 Processus élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5.2 Propriétés de l’intégrale Stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.6 Calcul d’Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6.1 Formule d’Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.6.2 Formule d’Itô multidimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 Approximation d’une équation différentielle stochastique 22 2.1 Équations différentielles stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2 Solution d’une EDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3 TABLE DES MATIÈRES 4 2.2.1 Théorème d’existence et d’unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3 Changement de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3.1 Probabilités équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3.2 Théorème de Girsanov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4 Intégration numérique des EDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.4.1 Méthode d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.4.2 Méthode de Milstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.4.3 Méthode de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3 Étude et Application : Modèle de Black-Scholes 34 3.1 Historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2 Description du modèle de Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.3.1 Exemples et simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Conclusion 41 Bibliographie 42 |
Exemplaires
| Code-barres | Cote | Support | Localisation | Section | Disponibilité |
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| aucun exemplaire |
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