| Titre : | Degré topologique en dimension finie et infinie |
| Auteurs : | Hemamed Yahia, Auteur ; Halimi. Abderrazak, Auteur |
| Type de document : | texte manuscrit |
| Editeur : | Université de Saida - Dr Moulay Tahar. Faculté des Sciences. Département de Mathématiques., 2018/2019 |
| Format : | 44p |
| Accompagnement : | CD |
| Note générale : |
Ces dernières années, le degré topologique s’est révélé un outil très puissant pour
la résolution de certains problèmes associés à des équations différentielles ordinaires et fonctionelles. Pour cela on va présenter, dans ce travail, la théorie du degré topologique en dimension finie et infinie. En 1869 Kronecker [8] a introduit la notion du degré pour les applications de C1 de Rn dans Rn. Poincaré[4], Böhler [11] et Hadamard [5] l’ont ensuite développé au début des années 1890 puis étendu au cas des fonctions continues. L.E. Brouwer[7] le généra- lisa pour les applications continues entre variétés compactes de même dimension finie et donna quelques applications topologiques. D’ailleurs, l’emploi dans les démonstrations d’arguments de type topologique revient à Poincaré (en 1883, 1884). Pour les applications différentiables, on a pu considérer des points critiques singuliers à partir de 1942 date à laquelle Sard étudia ces points. Les théories analytiques du degré de Brouwer pour les ap- plications C0 ont été dťéveloppées par Nagumo [9] et Heinz [9]. Cependant, les théorèmes du point fixe restérent longtemps plus célèbres que le degré lui-même si bien que l’on trouve de nos jours une démonstration directe pour ces théorèmes et une autre utilisant la théorie du degré. Ce mémoire devise en trois chapitres : Dans le premier chapitre, nous présentons le degré topologique de Brouwer avec ses propriétés principales. Le deuxième chapitre contient les deux types du degré en dimension infinie ; le degré de Shauder et le degré de Mawhin. Nous termines notre travail, par un resultat d’existence de solutions périodiques positives, pour une équation différentielle fonctionelle. 5 |
| Langues: | Français |
| Index. décimale : | BUC-M 008361 |
| Catégories : | |
| Note de contenu : |
Table des matières
Introduction 5 1 Degré topologique en dimension finie 6 1.1 Degré de Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Extension de la définition du degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Propriétés principales du degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4 Conséquences des propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5 Théorème de point fixe de Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 Degré topologique en dimension infinie 22 2.1 Degré de Leray-Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1.1 Théorème de point fixe de Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.2 Alternative non linéaire de Leray-Schauder . . . . . . . . . . . . . 25 2.2 Degré de Mawhin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.1 Application de Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.2 Définition des applications projections . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.3 Définition du degré de Mawhin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3 Théorème de continuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3 Existence de solutions périodiques positives 32 3.1 Existence de solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Annexe 40 3.2 Théorème d’Ascoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.3 Théorème de la valeur moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.4 Théorème d’inversion locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Bibliographie 43 4 |
Exemplaires
| Code-barres | Cote | Support | Localisation | Section | Disponibilité |
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| aucun exemplaire |
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