| Titre : | Calcul Stochastique en Dimension Infinie |
| Auteurs : | Daoudi Talia, Auteur ; Bousmaha Lamia, Directeur de thèse |
| Type de document : | texte manuscrit |
| Editeur : | Université de Saida - Dr Moulay Tahar. Faculté des Sciences. Département de Mathématiques., 2017/2018 |
| Format : | 90 ص |
| Accompagnement : | CD |
| Langues: | Français |
| Index. décimale : | BUC-M 008397 |
| Catégories : |
Master Mathématiques Spécialité: Analyse stochastique, statistique des processus et applications |
| Note de contenu : |
Table des matières
Remerciement 2 Dédicace 3 Introduction 7 1 Calcul stochastique en dimension finie 9 1.1 Quelques notions sur les processus stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.1 Comparaisons de processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.2 Filtration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.3 Temps d’arrêt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Le mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.1 Historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.2 Définition du mouvement Brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.3 Quelques propriétés du mouvement Brownien . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.1 Espérance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.2 Martingales à temps continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4 Intégration stochastique (Intégrale d’Itô) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4.1 Intégrale stochastique par rapport à un mouvement Brownien . . . . . . 16 1.4.2 Intégrale stochastique par rapport à une martingale . . . . . . . . . . . . 20 1.5 Formule d’Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.5.1 Formule d’Itô multidimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.5.2 Formule d’Itô unidimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.6 Processus d’Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4 TABLE DES MATIÈRES 5 2 Calcul stochastique en dimension infinie 23 2.1 Rappels et Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 Mesure gaussienne sur un espace de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3 Le processus de Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3.1 Processus de Wiener à valeurs dans un espace de Hilbert . . . . . . . . . 29 2.3.2 Processus de Wiener généralisés sur un espace de Hilbert . . . . . . . . . 32 2.4 Définition de l’intégrale stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.4.1 Intégrale stochastique pour les processus de Wiener généralisés . . . . . . 40 2.4.2 Approximations des intégrales stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.5 Propriétés de l’intégrale stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.6 Formule d’Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.7 Théorème stochastique de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.8 Remarques sur la généralisation de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3 Application aux EDS (Équations linéaires avec bruit additif ) 56 3.1 Rappels et Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.2 Systèmes de retard (Exemple pour un système déterministe) . . . . . . . . . . . 58 3.3 Concepts de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3.1 Concept de solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3.2 Convolution stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.4 Existence et Unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.4.1 Solutions faibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.4.2 Solutions fortes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Conclusion 70 Annexe 71 A Opérateurs nucléaires et Opérateurs Hilbert-Schmidt 72 A.1 Définition des opérateurs nucléaires et Hilbert-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . 72 B L’intégrale de Bochner 76 B.1 Définition de l’intégrale de Bochner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 B.2 Propriétés de l’intégrale de Bochner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 TABLE DES MATIÈRES 6 C Théorie des C0-semigroupes 80 C.1 Semigroupes de classe C0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 D puissances fractionnaires et espaces d’interpolation 83 Bibliographie |
Exemplaires
| Code-barres | Cote | Support | Localisation | Section | Disponibilité |
|---|---|---|---|---|---|
| aucun exemplaire |
Documents numériques (1)
BUC-M 008397 Adobe Acrobat PDF |
