| Titre : | Stochastic Analysis Of Some General Fractional Stochastic Processes |
| Auteurs : | Debbas Amel, Auteur ; Idrissi Soumia, Directeur de thèse |
| Type de document : | texte manuscrit |
| Année de publication : | 2018/2019 |
| Format : | 59ص |
| Accompagnement : | CD |
| Langues: | Français |
| Index. décimale : | BUC-M 008424 |
| Catégories : | |
| Note de contenu : |
Contents
Acknowledgments 4 Abstract/Résumé 7 Introduction 9 1 Preliminary Background 11 1.1 Basic definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.1 Stationary processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.1.2 Self-similar processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.1.3 H-sssi processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.1.4 The basic examples of stochastic processes, The Brownian motion . 17 1.2 Introduction to stochastic integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.2.1 Itô integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.2.2 Extensiens of Itô integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3 Stochastic Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 Fractional Calculus 26 2.1 Useful Mathematical Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.1 The Gamma Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.2 The Mittag-Lefler Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2 Fractional Derivatives and Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.1 Gr¨unwald-Letnikove, 1867-1868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.2 Riemann-Liouville definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.3 Caputo definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 5 2.3 Fractional Brownian motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3.1 Long range dependency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.3.2 Hölder continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3.3 Path differentiability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3.4 Non semi-martingale property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3.5 Integral representation of fractional Brownian motion . . . . . . . 35 3 Stochastic Differential Equation Via Generalized Grey Brownian Mo- tion 37 3.1 Preliminary notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2 Grey Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2.1 Grey noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2.2 Generalized grey Brownian motion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2.3 Characterization of the ggBm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2.4 Representations of ggBm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2.5 Other properties of the ggBm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.3 Stochastic differential equations driven by generalized grey noise . . . . . . 48 3.3.1 Preliminary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.3.2 Substitution theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Conclusion 54 Appendix 55 Bibliography 57 |
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