| Titre : | Couverture des options Européennes Par le calcul stochastique |
| Auteurs : | Houbad Mohammed Amin, Auteur ; Ait ouali Nadia, Directeur de thèse |
| Type de document : | texte manuscrit |
| Editeur : | Université de Saida - Dr Moulay Tahar. Faculté des Sciences. Département de Mathématiques., 2021/2022 |
| Format : | 52p |
| Accompagnement : | CD |
| Langues: | Français |
| Index. décimale : | BUC-M 008439 |
| Catégories : | |
| Note de contenu : |
Table des matières
Remerciements 4 1 Terminologie financière 9 1.1 Marché financier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.1 Vocabulaire des marchés financiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.2 Titre financier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.3 Les fonctions des marchés financiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.4 Le marché boursier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.5 Rôle des marchés financiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.6 Principaux marchés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.7 Produit primaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.8 Produit dérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.1.9 Problèmes d’option . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.1.10 Théorie de portefeuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.1.11 Stratégie de couverture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2 Les actifs financiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 Éléments d’analyse stochastique 19 2.1 Tribu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Processus stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3 Espérance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 5 0. INTRODUCTION GÉNÉRALE 2.3.1 Définition espérance conditionnelle sur un évènement . . . . . . . . . 20 2.3.2 Propriétés de l’espérance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.4 Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.4.1 Martingale exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.5 Inégalité important . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.5.1 Inégalité de Doob . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.6 Convergence des martingales en temps continu . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.7 Mouvement Brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.8 Intégrale stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.8.1 Cas de processus étagés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.8.2 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.9 Calcul d’Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.9.1 Formule d’Itô unidimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.9.2 Formule d’Itô multidimensionnelle : . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.10 Équation différentielle stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.10.1 Solutions fortes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.10.2 Théorème d’existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.11 Changement de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.12 Théorème de Girsanov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3 Modèle de Black et Scholes 36 3.1 Hypothèses sur le marché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2 Modélisation probabiliste du marché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.3 Probabilité risque neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.3.1 Ecart sur les changements de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.4 Portefeuilles autofinançants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.5 Duplication d’un produit dérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.6 EDP d’évaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.7 Formule de Black Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Conclusion 50 6 Introduction générale Dans le monde d’aujourd’huit, la finance joue une rˆole des plus important. Elle est parfois l’origine des crises mondiales. Il apparaît alors important que la finance soit basée sur des modèles solides permettant d’évaluer les risques et les prix. De cette nécessité, le modèle de Black Scholes s’est imposé comme référence depuis 1973, dans le calcul d’option. Malgré ses défauts, ce modèle connaît ce succés car il possède de nombreux avantages : sa simplicité d’application et de formule et son importante utilisation par les opérateurs du marché. En 1900, Louis Bachelier propose dans sa ”théorie de spéculation” l’utilisation, sans le nommer, du mouvement Brownien pour décrire les cours boursiers. 70 ans aprés Black Scholes et Merton introduisent un nouveau modèle de pricing d’option qui vaudra à leur auteur le prix Nobel d’économie en 1997. L’objectif de ce mémoire est justement de comment valoriser les options européennes et de trouver l’évaluation des produits dérivés. Pour cela, on va introduire le modèle de Black-Merton-Scholes, ainsi que toutes les notions mathématiques et stochastiques néces- saires, pour atteindre ce but. On partage ce mémoire en trois chapitres : Dans le premier chapitre, nous introduisons les termes financiers et présentons briève- 7 0. INTRODUCTION GÉNÉRALE ment quelques activités dans un marché boursier. Dans le deuxième chapitre, nous donnons quelques notions essentielles concernant les processus stochastiques, la théorie des martingales, le mouvement brownien et le cal- cul d’Itô par la construction de l’intégrale stochastique. Nous présenterons également les conditions suffisantes pour l’existence et l’unicité d’une solution d’une équation différen- tielle stochastique seront aussi présentées. Le troixième chapitre : a consacré à l’évaluation et la couverture d’une option Euro- péenne. Dans ce chapitre, on donne une brève description du modèle de Black-Merton- Scholes, en expliquant la formule d’évaluation et de couverture des options Européennes. Finalement, une conclusion et bibliographie présente des compléments au mémoire. 8 |
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