| Titre : | Analyse de performance des systèmes d’attente à temps de service général |
| Auteurs : | KADDOUR CHERIF Mokhtar, Auteur ; YAHIAOUI Lahcene, Directeur de thèse |
| Type de document : | texte manuscrit |
| Editeur : | Université de Saida - Dr Moulay Tahar. Faculté des Sciences. Département de Mathématiques., 2025/2026 |
| Format : | 61 ص |
| Accompagnement : | CD |
| Note générale : |
Les systèmes de files d’attente constituent un outil fondamental de modélisation pro-
babiliste pour l’analyse des performances de nombreux systèmes réels, tels que les réseaux de télécommunications, les systèmes informatiques, les centres d’appels, les chaînes de production et les infrastructures logistiques [7, 22, 20]. La théorie des files d’attente per- met d’étudier le comportement de ces systèmes soumis à des arrivées aléatoires de clients et à des temps de service variables, dans le but d’optimiser des mesures de performance telles que le temps d’attente moyen, la longueur de la file, le taux d’occupation du serveur ou encore la disponibilité du service. Au cours des dernières décennies, les modèles classiques de files d’attente ont été en- richis afin de mieux représenter les phénomènes rencontrés dans les systèmes modernes. Parmi ces extensions figurent notamment les files avec rappels (retrial queues), les va- cances du serveur, les vacances actives (working vacations), les interruptions de vacances, les temps de configuration (setup time) ainsi que la non-fiabilité du serveur. Les files de rappels ont fait l’objet de nombreux travaux fondamentaux, notamment ceux de Falin et Templeton [7], Gomez-Corral [8], ainsi que les contributions plus récentes de Arrar et al. [2, 3, 4]. Ces modèles sont particulièrement adaptés aux systèmes dans lesquels les clients qui trouvent le serveur indisponible quittent temporairement le système avant de réessayer après un délai aléatoire. Par ailleurs, le concept de vacances du serveur a été introduit afin de modéliser les pé- riodes d’inactivité ou de maintenance des systèmes de service [12, 14, 22]. Une généralisa- tion importante de ce mécanisme est celle des vacances actives, introduite dans les travaux de Servi et Finn [21], où le serveur continue de fournir un service à un rythme réduit pen- dant les périodes de vacances. Ce concept a suscité un intérêt croissant dans la littérature scientifique, donnant lieu à plusieurs études analytiques et applications [1, 5, 6, 15, 23, 24]. De plus, plusieurs chercheurs ont étudié l’effet combiné des vacances actives avec d’autres phénomènes tels que les interruptions de vacances, l’impatience des clients, les pannes du serveur et les temps de configuration [9, 10, 16, 17, 18, 19, 13]. Ce mémoire s’inscrit dans cette thématique et propose une analyse approfondie d’un modèle avancé de file d’attente de type M/G/1 intégrant simultanément un serveur non fiable, un temps de rappel général, des vacances actives et un temps de configuration. Ce modèle permet de représenter des situations réalistes où le serveur peut tomber en panne au cours du service, où les clients bloqués réessayent après un temps aléatoire général, où le serveur reste actif à un taux de service réduit durant les périodes de vacances, et où un temps de préparation est nécessaire avant la reprise normale du service. Un tel mo- dèle présente un intérêt particulier dans plusieurs domaines industriels et technologiques, notamment les systèmes informatiques, les réseaux de communication et les systèmes automatisés de production. L’objectif principal de ce travail est de développer une méthodologie rigoureuse pour l’analyse exacte de ce système, en déterminant ses mesures de performance à l’état station- 6 naire, sa condition de stabilité ainsi que certains indicateurs de fiabilité. Une application concrète au domaine du tri des déchets recyclables est également présentée afin d’illustrer l’intérêt pratique du modèle étudié. Ce travail s’appuie également sur des contributions récentes consacrées aux systèmes M/G/1 avec rappels, vacances actives et temps de confi- guration, notamment l’étude proposée dans [11]. Le mémoire est structuré en trois chapitres. Le premier chapitre présente les rap- pels mathématiques nécessaires à la compréhension de la suite : processus de comptage, processus de renouvellement, processus de Poisson, processus de Markov et processus de naissance et de mort. Le deuxième chapitre est consacré à l’analyse exacte du système M/G/1 par la méthode des chaînes de Markov incluses, menant à la célèbre formule de Pollaczek-Khinchine et à l’étude de la période d’occupation. Enfin, le troisième chapitre développe le modèle original proposé, incluant les vacances actives, le temps de configura- tion et la non-fiabilité du serveur, avec une analyse détaillée des équations de Kolmogorov, la dérivation des fonctions génératrices et le calcul des mesures de performance. Une étude de sensibilité et des exemples numériques viennent compléter cette analyse. 7 |
| Langues: | Français |
| Index. décimale : | BUC-M 008492 |
| Catégories : |
Master Mathématiques Spécialité: Analyse stochastique, statistique des processus et applications |
| Note de contenu : |
Table des matières
Dédicace 2 Remerciements 3 Introduction générale 6 1 Processus stochastiques pour les files d’attente 8 1.1 Processus de comptage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Processus de renouvellement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Processus de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Processus de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.1 Chaînes de Markov à temps discret (CMTD) . . . . . . . . . . . . . 13 1.4.2 Classification des états . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.3 Comportement stationnaire et asymptotique . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.4 Processus de Markov à temps continu et générateur infinitésimal . . 16 1.5 Processus de naissance et de mort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6 Définition et composants d’un système de file d’attente . . . . . . . . . . . 19 1.7 Notation de Kendall pour les files d’attente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.8 Application aux modèles de files d’attente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.8.1 Modèle M/M/1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.8.2 Modèle M/M/1/K (capacité finie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.8.3 Modèle M/M/c (serveurs multiples) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.8.4 Modèle M/M/c/c (système avec pertes) . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.8.5 Modèle M/M/∞ (nombre infini de serveurs) . . . . . . . . . . . . . 24 1.9 Loi de Little . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.10 Résumé des modèles et leurs caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2 Analyse exacte du système M/G/1 : chaînes de Markov incluses 27 2.1 Limites des processus markoviens à temps continu . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2 Chaînes de Markov incluses (Imbedded Markov Chains) . . . . . . . . . . . 28 2.2.1 Points de régénération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.2 Relation de récurrence fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.3 Matrice de transition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.4 Distribution stationnaire de la chaîne incluse . . . . . . . . . . . . . 30 2.3 Fonction génératrice et transformée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3.1 Définition des fonctions génératrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3.2 Dérivation de la formule de Pollaczek-Khinchine . . . . . . . . . . . 31 2.3.3 La formule de Pollaczek-Khinchine pour le nombre moyen de clients 31 2.3.4 La formule de Pollaczek-Khinchine pour le temps d’attente moyen . 32 4 2.4 Analyse de la période d’occupation (Busy Period) . . . . . . . . . . . . . . 33 2.4.1 Définition et propriétés fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.4.2 Transformée de Laplace de la période d’occupation . . . . . . . . . 33 2.4.3 Moments de la période d’occupation . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.5 Comparaison mathématique selon le type de service . . . . . . . . . . . . . 35 2.5.1 Cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.5.2 Comparaison des formules de Pollaczek-Khinchine . . . . . . . . . . 35 2.5.3 Impact de la variabilité sur les performances . . . . . . . . . . . . . 35 2.5.4 Tableau récapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.6 Résumé du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3 File d’attente M/G/1 non fiable avec temps de rappel général, vacances actives et temps de configuration 38 3.1 Description du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2 Analyse à l’état stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.2.1 Description des états du système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.2.2 Condition de stabilité et d’ergodicité . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2.3 Équations régissant le système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.3 Résultats en régime permanent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.4 Mesures de performance du système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.4.1 Probabilités des états du système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.4.2 Taille moyenne du système et de l’orbite . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.5 Mesures de fiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.6 Périodes d’occupation et de cycle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.6.1 Application pratique : Centre de tri de déchets recyclables . . . . . 49 3.7 Analyse de sensibilité et exemples numériques . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.8 Configuration des Paramètres et Discussion des Courbes . . . . . . . . . . 53 3.8.1 Choix des paramètres numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.8.2 Impact du taux de rappel (ξ) sur la taille de l’orbite . . . . . . . . . 53 3.8.3 Effet du taux de service régulier (μn) sur la taille de l’orbite . . . . 53 3.8.4 Variation de la probabilité de vacances en fonction de son taux (ω) 54 3.8.5 Sensibilité de la probabilité de préparation (Setup) par rapport au taux de service . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.8.6 Impact du taux de réparation (η) sur la probabilité de réparation . 55 3.8.7 Évolution de la probabilité d’oisiveté (P00) en fonction du taux de service . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.9 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Conclusion générale 58 5 |
Exemplaires
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