| Titre : | Fractional Calculus & Fractional Stochastic Processes: Theory and Applications |
| Auteurs : | Allou Bakhta, Auteur ; Idrissi Soumia, Directeur de thèse |
| Type de document : | texte manuscrit |
| Editeur : | Université de Saida - Dr Moulay Tahar. Faculté des Sciences. Département de Mathématiques., 2019/2020 |
| Format : | 56p |
| Accompagnement : | CD |
| Langues: | Français |
| Index. décimale : | BUC-M 008336 |
| Catégories : | |
| Mots-clés: | Mouvement Brownien standard. Equation différentielle stochastique. Calcul fractionnaire. Mouvement Brownien fractionnaire. Mouvement Brownien frac- tionnaire pondérée : Standard Brownian motion. Stochastic differential equations. Fractional calculus. Fractional Brownian motion. Weighted fractional Brownian motion. 5 |
| Résumé : |
The main goal of this master thesis, is to give by means of the examples chosen a
little glance on fractional calculus and fractional processes and discuss how are used in modeling some real phenomena, We begin by giving some preliminary background on stochastic calculus. Then we give an overview on the theory of fractional calculus and its application to the respiratory system. We wanted after to widens the notion of the fractional paradigm from calculus to stochastic processes by studying one of self-similar, long-range dependence, Gaussian fractional processes called weighted fractional Brownian motion (wfBm), which depends on two real parameters a, b. It includes fractional Brownian motion when a = 0, standart Brownian motion when a = b = 0. Then we will give some properties of this process. These properties, which are analogous to those of fBm, are self-similarity, path continuity, behavior of increments and long-range dependence. Ba,b is neither a semi-martingale nor a Markov process unless b = 0. Although, the wfBm Ba,b has not stationary increments in general. wfBm widens the scope of behaviour of fBm, it may be useful in some appli- cations. L’ objectif principal de ce travail est de donner à l’aide de quelques exemples un aperçu sur le calcul fractionnaire et les processus fractionnaires et leurs utilisation dans la modélisation de certains phénomènes réels. Nous commençons par donner quelques notions préliminaires sur le calcul stochastique. Ensuite, nous donnons un aperçu de la théorie du calcul fractionnaire avec une application au système respiratoire. Nous avons ensuite voulu élargir le paradigme fractionnaire du calcul aux processus stochastiques en étudiant l’un des processus fractionnaires Gaussiens autosimilaires et qui posséde la proprieté de la longue memoire appelé mouvement brownien fractionnaire pondéré (wfBm), qui dépend de deux paramètres réels a, b. Il comprend le mouvement brownien fractionnaire lorsque a = 0, le mouvement brownien standard lorsque a = b = 0. Ensuite, nous donnerons quelques propriétés de ce processus analogues aux celles de fBm, telle que l’auto-similarité, le comportement des incréments et la dépendance à longue terme. Ba,b n’est ni une semi-martingale ni un processus de Markov sauf que pour b = 0. généralemnt les incréments du wfBm Ba,b ne sont pas stationnaires. wfBm élargit la portée du comportement de fBm, cela peut être utile dans certaines applications |
| Note de contenu : |
Contents
Acknowledgments 2 Abstract/Résumé 5 Introduction 7 1 Introduction to stochastic calculus 10 1.1 Basic concepts of stochastic processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.1 Propaedeutic notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.2 Main Classes of stochastic process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2 Brownian Motion and stochastic integration . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.1 Brownian motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.2 Stochastic diffierential equations and Itˆo integrals . . . . . . . . . . 17 2 Essentials of fractional calculus 20 2.1 Special functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.1 The Gamma function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.2 The Beta function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.3 The Mittag-Lefler Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.4 The Weighted function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2 The basic fractional derivatives approaches . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.1 Riemann-liouville definition, 1982-1847 . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.2 Grünwald-Letnikove definition, 1867-1868 . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.3 Caputo fractional derivatives definition, 1969 . . . . . . . . . . . . . 26 2.3 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3 2.3.1 Fractional Calculus and Its Application to the Respiratory System . 28 3 Fractional stochastic processes 31 3.1 Self-similarity and long range dependency . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.1.1 Self-similarity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.1.2 Long-range dependency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.2 Fractional Brownian motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2.1 The basic properties of fractional Brownian motion . . . . . . . . . 35 3.2.2 Integral representation of fractional Brownian motion fractionaire . 39 3.2.3 Stochastic integration with respect to fractional Brownian motion . 40 3.3 The Weighted Fractional Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.3.1 Definition and basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.4 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.4.1 A Weighted-fractional (Merton weighted fractional) model to Eu- ropean option pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Conclusion 53 Bibliography 54 |
Exemplaires
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