| Titre : | Sur le groupe de Lorentz et ses représentations |
| Auteurs : | Allou Abderahmane, Auteur |
| Type de document : | texte manuscrit |
| Editeur : | Université de Saida - Dr Moulay Tahar. Faculté des Sciences. Département de Mathématiques., 2019/2020 |
| Format : | 69 ص |
| Accompagnement : | CD |
| Langues: | Français |
| Index. décimale : | BUC-M 008357 |
| Catégories : | |
| Résumé : |
Dans ce mémoire on a évoqué la notion de représentation des groupes
comme un élément essentiel de la théorie en géométrie différentielle. On a donné un exemple de construction de représentation à partir d’autres. Cette technique est un outil pratique pour comprendre la géométrie d’un groupe (le groupe de Lorentz dans notre cas) ou d’une variété à un groupe de symétrie donnée |
| Note de contenu : |
Table des matières
Introduction 5 1 Théorie des représentations des groupes 7 1.1 Représentations des groupes finis . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.2 Représentations irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Opérations sur les représentations . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.1 Somme directe de représentations . . . . . . . . . . . . 10 1.2.2 Produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.3 Opérateurs d’entrelacement et lemme de Schur . . . . . 11 1.3 Caractères et relations d’orthogonalité . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.1 Fonctions sur un groupe, coefficients matriciels . . . . . 13 1.3.2 Caractère d’une représentation, relations d’orthogonalité 14 1.4 Représentations des groupes compacts . . . . . . . . . . . . . 16 1.4.1 Mesure de Haar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4.2 Complète réductibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4.3 Relations d’orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 Groupe de Lorentz 23 2.1 Groupe de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.2 Systèmes de coordonnées orthogonales . . . . . . . . . 27 2.1.3 le groupe général Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3 Représentations des groupes de Lorentz 45 3.1 Les algèbre de Lie su(2) et so(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3 4 TABLE DES MATIÈRES 3.1.1 Base de su(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.1.2 Base de so(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.1.3 Le morphisme de revˆetement de SU (2) sur SO(3) . . . 47 3.2 Le groupe de Lie SO(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.3 Le groupe de Lie SU (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.3.1 Projection de SU (2) sur SO(3) . . . . . . . . . . . . . 48 3.4 les représentations de SU (2) et SO(3) . . . . . . . . . . . . . . 49 3.4.1 Représentations irréductibles de sl(2, C) . . . . . . . . 49 3.4.2 Représentations de SU (2) . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.5 Représentations de SO(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.6 Définition des représentations du groupe de Lorentz et concepts fondamentaux de la théorie des représentations . . . . . . . . . 51 3.7 La relation entre les représentations du propre groupe de Lo- rentz et les représentations du groupe de matrices complexes . 53 3.7.1 Représentations à deux valeurs du Groupe générale Lo- rentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.8 Groupe de Lorentz L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.9 Algèbre de Pauli P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.10 Représentation dans P du groupe de Lorentz . . . . . . . . . 60 3.11 Représentation dans P de l’algèbre de Lie de L+ . . . . . . . 63 3.11.1 Algèbre de Lie des matrices de P . . . . . . . . . . . . 63 Bibliographie 65 |
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