| Titre : | Approche probabiliste des équations aux dérivées partielles |
| Auteurs : | Benkaddour Sakina, Auteur ; Bousmaha Lamia, Directeur de thèse |
| Type de document : | texte manuscrit |
| Editeur : | Université de Saida - Dr Moulay Tahar. Faculté des Sciences. Département de Mathématiques., 2019/2020 |
| Format : | 81ص |
| Accompagnement : | CD |
| Langues: | Français |
| Index. décimale : | BUC-M 008446 |
| Catégories : |
Master Mathématiques Spécialité: Analyse stochastique, statistique des processus et applications |
| Note de contenu : |
Table des matières
Introduction 6 1 Rappels et Compléments 8 1.1 Vecteurs gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Processus stoquastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Temps d’arrêt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4 Le mouvement Brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5 Martingales à temps continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.6 Intégrale stochastique (Intégrale d’Itô) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 Equations Différentielles Stoquastiques 18 2.1 Introduction, définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2 Existence et unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3 Exemples d’EDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3.1 Equations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3.2 Equations affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.4 Générateur des diffusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.4.1 Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4.2 Propriété de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4.3 Semi-groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.4.4 Générateur de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3 Généralité sur les EDPs et la méthode des différences finis 32 3.1 Généralité sur les équations aux dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.1.1 Définitions - Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.1.2 Les conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.1.3 Classification des équations aux dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . 35 3.1.4 Consistance, Convergence et stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.2 La résolution numérique des EDPs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2.1 Cas elliptique : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2.2 Cas parabolique : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4 Approche probabiliste des EDPs 58 4.1 Diffusion et EDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.1.1 La formule de Dynkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.1.2 Liens avec des EDPs linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.1.3 EDP de type Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.2 Mouvement Brownien et EDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.2.1 Fonctions harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4 4.2.2 Probléme de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.2.3 Equation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.2.4 Formule de Feynman-Kac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.3 Discrétisation de problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.3.1 Le schéma d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.3.2 La méthode de Monte-carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.4 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4.4.1 Discrétisation du mouvement Brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.4.2 Illustration numérique du problème par la méthode probabiliste . . . . . 74 Conclusion 78 Bibliographie 79 5 |
Exemplaires
| Code-barres | Cote | Support | Localisation | Section | Disponibilité |
|---|---|---|---|---|---|
| aucun exemplaire |
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