| Titre : | Produit de deux Variétés Riemannienne |
| Auteurs : | Bentadj Belmokhtar, Auteur ; Saadli Benjdide, Directeur de thèse |
| Type de document : | texte manuscrit |
| Editeur : | Université de Saida - Dr Moulay Tahar. Faculté des Sciences. Département de Mathématiques., 2020/2021 |
| Format : | 49 ص |
| Accompagnement : | CD |
| Note générale : |
En mathématiques, il y a plusieurs branches parmi les quelles a géométrie, cette der-
nière étudie les propriétés et les relations des formes et des gures dans un espace. La géométrie se divise en deux types, la géométrie analytique et la géométrie diérentielle : 1. La géométrie analytique : Partie de la géométrie ayant recours au calcul algébrique et analytique. Elle facilité les Étude des propriétés géométriques des courbes et des surfaces et de leurs présentations graphiques ou la recherche de "lieux géomé- triques". 2. La géométrie diérentielle : Est une continuité du calcul innitésimal 2, elle permet d'étudier grâce aux techniques du calcul diérentiel, une nouvelle famille d'espaces topologiques ap- pelées "variété diérentiable", permettant la rénovation de la vieille géométrie des courbes et des surfaces de R3 la Gauss . Pendant de nombreux siècles, le cadre naturel de la géo- métrie est la géométrie euclidienne du plan ou de l'espace. Les infructueuses tentatives de démonstration du postulat des parallèles ont aidé les géomètres à imaginer les moyens de dépasser ce cadre. Ainsi Lobatchevski en 1829 et Bolyai en 1832 introduisent les pre- miers exemples de géométrie non euclidienne. Les espaces à géométrie hyperbolique qu'ils construisent sont maintenant vus comme des cas particuliers de variétés riemanniennes "à courbure négative. Quelques années auparavant, Gauss étudie la géométrie diérentielle des surfaces de l'espace euclidien. Il introduit pour les décrire une quantité fondamentale, la courbure de Gauss. Il réalise que cette courbure peut être calculée sans faire intervenir l'espace ambiant, directement à partir d'informations disponibles sur la surface, théorème qu'il qualie de "remarquable" (théorème egregium) 3. Gauss passe lui-même tout près de la découverte de la géométrie hyperbolique Le premier pas de la géométrie riemannienne proprement dite remonte aux travaux de Bernhard Riemann au dix-neuvième siècle et en particulier lors d'une conférence inaugurale intitulée "Über die Hypothesen, welche der Géométrie zu Grunde liegen1" (soit en français : Sur les hypothèses sous-jacentes à la géométrie). C'est une généralisation directe de la géométrie diérentielle des surfaces de Gauss en n dimensions. Cette nouvelle démarche a largement étendu l'idée de géométrie non euclidienne, même si son cadre conceptuel a mis plusieurs décennies à se mettre en place |
| Langues: | Français |
| Index. décimale : | BUC-M 008447 |
| Catégories : | |
| Note de contenu : |
Table des matières
Introduction 7 1 Rappel et dénition 9 1.1 Notion d'espace topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.1 Espace topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.2 Espace Séparé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.3 Diérentielle D'une application sur un espace vectoriel normé . . . 10 1.1.4 Variété Diérentiable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.5 Théorème d'inversion locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2 Espace tangent et bré tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.1 Espace tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.2 Fibré tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.3 Champ de vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 Introduction à La géométrie Riemannienne 17 2.1 Notion de Tenseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Métrique Riemannienne sur une variété . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3 Connexion Linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.4 Tenseur de Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.5 Connexion Levi-Cevita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.6 Courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.6.1 Tenseur de Courbure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.6.2 Courbure Sectionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.6.3 Courbure de Ricci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.7 Opérateur sur une Variété Riemannienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.7.1 Opérateur gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.7.2 Divergence d'un champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.7.3 Hessienne d'une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.7.4 Opérateur Laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.7.5 Formule de Bochner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3 variété Riemannienne produit tordus 33 3.1 Variété Produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.1.1 Connexion linéaire produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.1.2 Tenseur de Torsion produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.1.3 Tenseur de courbure produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.1.4 Métrique produit (diagonal) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.1.5 Opérateur Laplacien produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2 Produit Tordu de Variété Riemannienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 6 TABLE DES MATIÈRES 3.2.1 Connexion de Levi-Civita de la Variété Produit Tordu . . . . . . . 39 3.2.2 Tenseur de Courbure du Produit Tordu . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2.3 Opérateur Laplacien dans le Produit Tordu . . . . . . . . . . . . . 45 Conclusion 47 Bibliographie 49 |
Exemplaires
| Code-barres | Cote | Support | Localisation | Section | Disponibilité |
|---|---|---|---|---|---|
| aucun exemplaire |
Documents numériques (1)
BUC-M 008447 Adobe Acrobat PDF |
