| Titre : | Controllability of Stochastic Differential Equations Driven by Mixed Fractional Brownian Motion |
| Auteurs : | Mohamed Belaid CHAIB, Auteur ; BOUTLILIS Mokhtaria, Auteur |
| Type de document : | texte manuscrit |
| Editeur : | Université de Saida - Dr Moulay Tahar. Faculté des Sciences. Département de Mathématiques., 2025/2026 |
| Format : | 76ص |
| Accompagnement : | CD |
| Langues: | Anglais |
| Index. décimale : | BUC-M 008484 |
| Catégories : | |
| Résumé : |
The purpose of this thesis is to present some theoretical results on stochastic dif-
ferential equations driven by mixed fractional Brownian motion. We first recall some basic notions of Brownian motion and fractional Brownian motion. We then introduce the mixed fractional Brownian motion and study some of its properties. We develop the stochastic calculus needed to handle such equations and prove the existence and uniqueness of the associated solutions. Finally, we study the controllability problem for the related system in the mild formulation by using the control-to-state operator, and we establish a main result on controllability under appropriate assumptions. Ce travail se concentre sur l’analyse théorique des équations différentielles stochas- tiques pilotées par un mouvement brownien mixte fractionnaire. Nous commençons par présenter les concepts essentiels relatifs au mouvement brownien et au mouvement brown- ien fractionnaire, avant d’introduire le mouvement brownien fractionnaire mixte et ses principales caractéristiques. Nous construisons ensuite le calcul stochastique adapté à ce processus et démontrons des théorèmes d’existence et d’unicité pour les solutions des équations stochastiques étudiées. Par la suite, nous examinons la contrôlabilité du sys- tème associé en exploitant la formulation faible et le concept d’opérateur entrée-sortie, et nous établissons un résultat fondamental concernant la contrôlabilité sous des conditions convenables. |
| Note de contenu : |
Contents
1 Generalities on Fractional Brownian Motion 9 1.1 Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.1 Definition of Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.2 Properties of Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.2.1 Non-differentiability of Brownian Motion . . . . . . . . . . 11 1.1.2.2 Brownian paths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.1.2.3 Quadratic variation and Brownian Motion . . . . . . . . . 14 1.1.2.4 Markov property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.1.2.5 Martingale Property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2 Fractional Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.1 Definition of Fractional Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2.2 Basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2.3 Long and Short-Range Dependence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.2.4 Fractional Brownian Motion is not Markovian . . . . . . . . . . . . 21 1.2.5 Fractional Brownian Motion is not a semi-martingale . . . . . . . . 22 1.2.6 Representation of Fractional Brownian Motion . . . . . . . . . . . . 23 1.2.6.1 Lévy-Hida Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.2.6.2 Moving Average Representation . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.2.6.3 Harmonizable Representation . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 Mixed Fractional Brownian Motion and its Properties 26 2.1 Definition of Mixed Fractional Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2 Basic properties of Mixed Fractional Brownian Motion . . . . . . . . . . . 27 2.2.1 Correlation between the increments . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.2 Long and short term dependence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.3 Hölderian Continuity and differentiability . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.4 Semimartingale property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3 Stochastic Differential Equations Driven by Mixed Fractional Brownian Motion 38 3.1 Stochastic Integration with Respect to Mixed Fractional Brownian Motion 39 3.1.1 Integration with Respect to the Brownian Part . . . . . . . . . . . 39 3.1.1.1 Itô Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 5 6 CONTENTS 3.1.2 Integration with Respect to the Fractional Part . . . . . . . . . . . 40 3.1.2.1 Young Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.1.2.2 Skorokhod Integral (Malliavin Calculus) . . . . . . . . . . 41 3.1.2.3 Itô’s Formula for Fractional Brownian Motion . . . . . . . 42 3.2 Stochastic Differential Equations Driven by Mixed Fractional Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.2.1 General Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.2.2 SDEs in the Sense of Wiener Integral (Classical Case) . . . . . . . . 43 3.2.3 SDEs in the Sense of Young Integral (H > 1/2) . . . . . . . . . . . 43 3.2.4 SDEs in the Sense of Skorokhod Integral (H 2) . . . . . . . . . . 45 3.2.5 Stochastic Differential Equations Driven by Hölder Paths . . . . . . 46 3.3 Existence and Uniqueness of Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.3.1 Existence of Strong Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.3.2 Uniqueness of Strong Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.3.3 Weak Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.4 Numerical solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4 Controllability of Stochastic Differential Equations Driven by Mixed Fractional Brownian Motion 54 4.1 Preliminaries and Functional Setting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.1.1 Notations and assumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.1.2 Mixed fractional Brownian motion and controlled system . . . . . . 57 4.2 Formulation of the Controlled Stochastic Differential Equation . . . . . . . 58 4.2.1 General form of the controlled system . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.3 Mild Solution and Control System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.3.1 Definition of mild solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.3.2 Equivalent integral form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.3.3 Control-to-state operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.4 Controllability Concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.4.1 Controllability of the controlled system . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.4.2 Approximate and null controllability . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.4.3 Control-to-state operator and linear reference system . . . . . . . . 61 4.5 Main Controllability Result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.5.1 Hypotheses for controllability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.5.2 Main theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.5.3 Outline of the proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.6 Illustrative Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.6.1 Example setting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.6.2 Numerical illustration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 |
Exemplaires
| Code-barres | Cote | Support | Localisation | Section | Disponibilité |
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| aucun exemplaire |
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